"La matemática como ciencia nació en el
siglo VI a. de C. en la comunidad religiosa de los pitagóricos y fue parte de
esta religión. Su propósito estaba bien claro. Revelando la armonía del mundo
expresada en la armonía de los números proporcionaba un sendero hacia una unión
con lo divino. Fue este objetivo elevado el que en aquel tiempo proporcionó las
fuerzas necesarias para un logro científico del que en principio no puede darse
parangón. Lo que estaba involucrado no era el descubrimiento de un bello teorema
ni la creación de una nueva rama de la matemática, sino la creación misma de
las matemáticas”. I.R. Shafarevich
"La influencia de
la geometría en la filosofía y el método científico ha sido profunda. La
geometría, tal como fue establecida por los griegos, comienza con axiomas que
son (o creían ser) evidentes en sí mismos. Luego avanza la geometría por
razonamientos deductivos hasta teoremas que no son, ni mucho menos, evidentes
en sí. Los axiomas y teoremas se tienen por ciertos en el espacio real, y
éste es algo dado por la experiencia. Así parecía ser posible descubrir cosas
del mundo real, descubriendo primero lo que es evidente en sí, y después
haciendo uso de la deducción. Esta idea influyó en Platón, Kant y en la
mayoría de los filósofos intermedios. Cuando dice la Declaración de
Independencia que "estas verdades las consideramos como evidentes en
sí", se rige por Euclides. La doctrina del siglo XVIII de los derechos
naturales es una búsqueda de axiomas euclidianos en el campo de la política.*
La forma de "los principios" de Newton, a pesar de su materia
reconocidamente empírica, está dominada del todo por Euclides. La teología,
en sus exactas formas escolásticas, se nutre de la misma fuente; la religión
personal se deriva del éxtasis, la teología, de las matemáticas, y ambas se
encuentran en Pitágoras.
Creo que la matemática es la fuente principal de la fe en la verdad eterna y exacta y en un mundo suprasensible e inteligible. La geometría trata de círculos exactos, pero ningún objeto sensible es exactamente circular; por muy cuidadosamente que manejemos el compás siempre habrá imperfecciones e irregularidades. Esto sugiere la idea de que todo el razonamiento exacto comprende objetos ideales, en contraposición a los sensibles; es natural seguir adelante y argüir después que el pensamiento es más noble que los sentidos y los objetos de la idea más reales que los que percibimos por los sentidos. Las doctrinas místicas respecto a la relación del tiempo con la eternidad también se apoyaron en las matemáticas puras, porque los objetos, como los números, si son reales son eternos y no colocados en el tiempo. Estos objetos eternos pueden ser concebidos como pensamientos de Dios. De allí se deriva la doctrina de Platón de que Dios es un geómetra, y la de Jeams Jean de que Dios ama la aritmética. La religión racionalista en contraposición a la apocalíptica ha sido completamente dominada desde Pitágoras y, sobre todo, desde Platón, por las matemáticas y sus métodos. La combinación de matemáticas y teología que se inció con Pitágoras caracterizó la filosofía religiosa en Grecia, en la Edad Media y en los tiempos modernos, hasta Kant. El orfismo anterior a Pitágoras era análogo a las religiones asiáticas de misterios. Pero en Platón, San Agustín, Tomás de Aquino, Descartes, Spinoza y Leibniz existe una fusión íntima de religión y razonamiento, de aspiración moral y admiración lógica por lo eterno, que procede de Pitágoras, distinguiéndose la teología intelectualizada de Europa del misticismo más directo de Asia. Solamente en tiempos modernos ha sido posible declarar abiertamente que Pitágoras estaba en un error. No conozco ningún otro hombre que hubiese tenido mayor influencia en el campo del pensamiento. Lo digo porque lo que aparece como platonismo resulta, después de analizarlo, esencialmente pitagorismo. Toda la concepción de un mundo eterno que se revela al intelecto y no a los sentidos, se deriva de él. Si no fuere por él, los cristianos no habrían considerado a Cristo como el Verbo; a él deben los teólogos la búsqueda de pruebas lógicas de la existencia de Dios y de la inmortalidad. Sin embargo, en Pitágoras todo eso queda aún sobreentendido". |
Historia de la filosofía
occidental , Bertrand Russell
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La
Sucesión Pitagórica
Según la Vida de
Pitágoras escrita por Jámblico: “El sucesor reconocido de Pitágoras fue
Aristeu, el hijo del crotoniense Damoflón, el cual fue contemporáneo de
Pitágoras, y vivió siete generaciones antes de Platón. Siendo especialmente
dotado en las doctrinas pitagóricas, continuó su escuela, instruyendo a los
“hijos de Pitágoras” y casándose con su esposa Theano. A los discípulos
del grupo esotérico de Pitágoras se les llamaba los discípulos genuinos
o familiares. De ahí que se hable de “hijos” o de “esposa”. Ver: Laercio).
Se dice que Pitágoras enseñó en su escuela durante 39 años y que vivió un
siglo. Cuando envejeció, Aristeu entregó la escuela al hijo (discípulo) de
Pitágoras llamado Mnesarco. A este le sucedió Bulagoras, en cuya época Crotona
fue saqueada. Después de la guerra, Gartydas el crotoniense, que había estado
ausente de viaje, regresó y tomó para sí la dirección de la escuela; pero, debido
a la tristeza que le produjo la calamidad en que se encontraba su país, murió
prematuramente... Posteriormente, Aresas Lucano, a quien habían salvado ciertos
extranjeros, tomó a su cargo la escuela, y a él acudió Diodoro Aspendio, que
apenas fue recibido por culpa de el entonces pequeño número de verdaderos
Pitagóricos (genuinos).
Clinias y Filolau
estaban en Heraclea; Teórides y Euryto en Mataponto; y en Tarento estaba
Arquitas. También se dice que Epicarmo fue uno de los oyentes extranjeros, no
perteneciendo a la escuela; no obstante, habiendo llegado a Siracusa; evitó
filosofar en público debido a la tiranía de Hiero. Aún así, escribió los puntos
de vista pitagóricos en verso y publicó los preceptos pitagóricos ocultos en
sus comedias. Es probable que la mayoría de los pitagóricos hayan sido anónimos
y hayan permanecido desconocidos” (Pythagorean Sourcebook, Op. Cit. p.
120)
“Entre los Pitagóricos
de la escuela primitiva o de las primeras generaciones, habiendo pertenecido a
los discípulos o familiares (es decir, al grupo esotérico) o a los aucustici (oyentes
exotéricos), Jámblico menciona 280” (Ibid, pp 121-122). Diógenes
Laercio informa sobre seis: Empédocles, Epicarmo, Arquitas, Alcmeón, Hipaso y
Filolau.
Podemos ver éste encantador video de Walt Disney:
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“Aquellos que
provinieron de esta escuela, no sólo los Pitagóricos más antiguos, sino también
aquellos que, durante la vejez de Pitágoras, eran aún jóvenes, como Filolau y
Euryto, Carondas y Zaleuco, Brysson y Arquitas el viejo, Aristeu, Lysis y
Empédocles, Zalmoxys y Epiménides, Mino y Leucipo, Alcmaeon e Hippaso, y
Tymáridas, constituyeron, en aquella época, una multitud de sabios,
incomparablemente excelentes. Todos ellos adoptaron este modo de enseñanza (los
símbolos pitagóricos), en sus conversaciones, comentarios y anotaciones.
Igualmente sus escritos y todos los libros que publicaron, la mayoría de los
cuales han llegado a nuestros días (es decir, desde los días de Jámblico, cerca
del 250-330 D.C.), no fueron compuestos en dicción popular o vulgar, o en el
modo usual de los otros escritores para poder ser inmediatamente comprendidos:
fueron presentados en una forma que no era fácil de comprender por los
lectores, ya que los autores adoptaron la ley de la reserva de Pitágoras, de
forma arcana, en la que se ocultaban los misterios divinos a los no iniciados,
oscureciendo sus escritos y mutuas conversaciones” (Vida de Pitágoras,
por Jámblico, Pythagorean Sourcebook, op. cit. p. 83)
Algunos discípulos pitagóricos según Jamblico:
Lugar de procedencia
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Nombres
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Crotona
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Ageas, Agelas,
Agilo, Alcmeón, Antimedón, Aristeo, Brías,
Bulagoras, Buto, Cleofrón, Cleóstenes, Damocles, Dimas, Ecfanto, Egón,
Episipo, Erato, Evandro, Ficíadas, Filtis, Gartidas, Hemón, Hipóstenes,
Hipóstrato, Itaneo, Leofrón, Menón, Mía, Milias, Milón, Mnemarco, Onatas, Rodipo,
Silo, Timeo, Timica.
|
Metaponto
|
Agesarco, Agesidamo,
Alcias, Alopeco, Antímenes, Aristeas, Aristomenes, Astilo, Brontino, Damármeno,
Damótages, Eirisco, Eneas, Epifrón, Eufemo, Eurifemo, Eurito, Evandro, Glicino,
Haníoco, Jenócades, Jenofantes, Lácidas, Lácrates, Lácrito, Lafaón, Leócides,
León, Megistias, Melesias, Oréstadas, Parmisco, Pirrón, Procles, Quilas,
Rexibio, Téano,Tráseas,
Trasímedes.
|
Agrigento
|
Empédocles
|
Elea
|
Parménides
|
Tarento
|
Acmónidas, Acusiladas,
Arceas, Aristipo, Aristoclidas, Arquémaco, Arquitas,
Asteas, Brías, Carofántidas, Cenias, Clearato, Cleón, Clinágoras, Clinias, Dicearco, Dicas, Dinócrates,
Equécrates, Eurimedonte, Eurito, Eutino, Filolao,
Filónides, Frínico, Frontidas, Habróteles, Habrotelia, Helandro,
Hestieo, Ico, Leonteo, Licón, Lisibio, Lisis,
Mimnómaco, Pactio, Pisícrates, Pisírrode, Pisírrodo, Polemarco, Simiquias,
Teodoro, Zopiro.
|
Síbaris
|
Diocles, Empedo, Endio,
Evánor, Hípaso, Léanax, Menestor, Metopo, Polemeo, Próxeno,
Timasio, Tirsenis, Tirseno.
|
Cartago
|
Antes, Hodio, Leócrito,
Milcíades.
|
Paros
|
Alcímaco, Dexíteo,
Dinarco, Eecio, Eumorio, Fenecles, Metón, Timáridas, Timeo, Timesianax.
|
Locros
|
Estenónidas, Eudico,
Eutino, Evetes, Filodamo, Gitios, Jenón, Sosístrato, Tímares, Zaleuco.
|
Posidonia
|
Atamante, Batilao,
Cránao, Fedón, Mies, Próxeno, Simo.
|
Lucania
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Aresas, Aresandro, Cerambo, Ecelo, Ocelo, Ocilo.7
|
Dardania
|
Malión
|
Argos
|
Babelica, Boio, Critón,
Eveltonte, Hipomedonte, Políctor, Timóstenes, Trasidamo.
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Lacedemonia
|
Autocáridas, Cleanor,
Cleecma, Cratesíclea, Eurícrates, Quilónide, Teadusa.
|
Hiperbórea
|
Abaris
|
Regio
|
Arístides, Aristócrates, Calais,
Demóstenes, Euticles, Eutosión, Fitio, Helicaón, Hipárquides,
Mnesíbulo, Opsimo, Selinuncio.
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Siracusa
|
Damón, Fintias, Leptines.
|
Samos
|
Arquipo, Heloripo,
Heloris, Hipón, Lacón, Meliso.
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Caulonia
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Calímbroto, Dicón,
Drimón, Jéneas, Nastás.
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Fliunte
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Diocles, Equécrates, Equecratia, Fantón, Polimnasto.
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Sición
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Demón, Estratio,
Políades, Sóstenes.
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Cirene
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Aristángelo,
Melanipo, Proro, Teodoro.
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Cízico
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Butero, Hipóstenes, Jenófilo, Pitodoro.
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Catania
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Carondas,
Lisíades.
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Corinto
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Crisipo
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Tirrenia
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Nausitoo
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Atenas
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Neócrito
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Ponto
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Liramno
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Arcadia
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Lastenia
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Aspendo
|
Diodoro
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Megara Hiblea
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Epicarmo
|
Algunas enseñanzas pitagóricas
Los esfuerzos de Pitágoras se debieron de centrar, en lo que concierne a la
formación personal completa, en los jóvenes a quienes encontró más flexibles y
con más capacidad de absorber el espíritu pitagórico plenamente. Puesto que su
sistema de pensamiento estaba basado en el descubrimiento y contemplación de la
armonía del cosmos y a ello se habría de llegar muy fundamentalmente a través
de la introducción en consideraciones científicas, muy difíciles para los más
adultos, ocupados en los asuntos de la ciudad, estableció de modo natural dos
formas distintas de enseñanza. Así es como explica Iámblico (Vita Pyth. 88) la
existencia en la primitiva comunidad pitagórica de dos clases de miembros, los
matemáticos (mathematikoi, conocedores) es decir los iniciados a quienes
Pitágoras comunicaba los conocimientos científicos a su disposición y los
acusmáticos (akousmatikoi, oidores) que participaban de los conocimientos y
creencias, de los principios morales, ritos y prescripciones específicas de la
hermandad, si bien sin conocer en profundidad las razones de su credo y su
proceder. Además, recibían los conocimientos del maestro sin poder verlo directamente pues él lo hacía detras de una cortina.
Esta distinción resultó ser de enorme trascendencia en la evolución de la comunidad pitagórica. Los acusmáticos se constituyeron en custodios de las enseñanzas de Pitágoras y su preocupación fue que éstas se conservaran tal como Pitágoras las había transmitido. Los matemáticos se consideraban continuadores más bien del espíritu de Pitágoras, basado en el conocimiento científico, y puesto que es connatural a éste su propia evolución era claro para ellos que el conjunto de conocimientos de Pitágoras era susceptible de perfeccionamiento. Era natural que esta diversidad de pareceres había de conducir a la división de la comunidad con la desaparición de Pitágoras y así sucedió en efecto.
Esta distinción resultó ser de enorme trascendencia en la evolución de la comunidad pitagórica. Los acusmáticos se constituyeron en custodios de las enseñanzas de Pitágoras y su preocupación fue que éstas se conservaran tal como Pitágoras las había transmitido. Los matemáticos se consideraban continuadores más bien del espíritu de Pitágoras, basado en el conocimiento científico, y puesto que es connatural a éste su propia evolución era claro para ellos que el conjunto de conocimientos de Pitágoras era susceptible de perfeccionamiento. Era natural que esta diversidad de pareceres había de conducir a la división de la comunidad con la desaparición de Pitágoras y así sucedió en efecto.
La distinción entre
matemáticos y acusmáticos es transmitida por múltiples canales. Iámblico es
quien narra más por extenso la división entre ellos y su narración parece haber
sido tomada de la obra perdida de Aristóteles sobre los pitagóricos. Al parecer
fue Hipaso de Metaponto
el principal representante de los matemáticos. Se debió de ocupar con notable éxito de hacer avanzar los conocimientos matemáticos. A principios del siglo V (500-480) entró en conflicto con los acusmáticos, ya que fue el primero en ofrecer por escrito al público en general "el secreto de la esfera de los doce pentágonos" (Iámblico, Vita Pyth.88), en castigo de lo cual murió en un naufragio. El "secreto de la esfera de los doce pentágonos" alude a cierta construcción relacionada con el dodecaedro regular que los pitagóricos primitivos deseaban mantener en secreto, como el grueso de su doctrina en general. En otro lugar Iámblico mismo (Vita Pyth. 246-247) cuenta que aquél que reveló "la naturaleza del conmensurable y del inconmensurable a quienes no eran dignos de participar de tales conocimientos", fue expulsado de la comunidad. Los pitagóricos le erigieron una tumba como si para ellos ya hubiera muerto. Parece probable que fue Hipaso mismo este personaje que reveló por primera vez la existencia de longitudes inconmensurables y precisamente a través de un estudio del pentágono regular como veremos más adelante. Iámblico acusa a Hipaso de haberse atribuído el mérito de sus descubrimientos, "siendo así que todos proceden de El", es decir de Pitágoras. Se puede pensar razonablemente que Hipaso fue un gran matemático que efectivamente dió por primera vez con la existencia de longitudes inconmensurables, es decir tales que una no es un múltiplo de una parte de la otra, dando con ello al traste con la acariciada creencia de los pitagóricos primitivos de que todo debe estar regido por los números enteros y las proporciones entre ellos. La versión que Iámblico cuenta, acusando a Hipaso de plagio, proviene según la conjetura de van der Waerden, del círculo de pitagóricos matemáticos anónimos entre 480-430 de quienes la tomó Aristóteles mismo. Estos pitagóricos fueron potentes matemáticos con la estrategia común de atribuir a Pitágoras mismo sus descubrimientos matemáticos.
el principal representante de los matemáticos. Se debió de ocupar con notable éxito de hacer avanzar los conocimientos matemáticos. A principios del siglo V (500-480) entró en conflicto con los acusmáticos, ya que fue el primero en ofrecer por escrito al público en general "el secreto de la esfera de los doce pentágonos" (Iámblico, Vita Pyth.88), en castigo de lo cual murió en un naufragio. El "secreto de la esfera de los doce pentágonos" alude a cierta construcción relacionada con el dodecaedro regular que los pitagóricos primitivos deseaban mantener en secreto, como el grueso de su doctrina en general. En otro lugar Iámblico mismo (Vita Pyth. 246-247) cuenta que aquél que reveló "la naturaleza del conmensurable y del inconmensurable a quienes no eran dignos de participar de tales conocimientos", fue expulsado de la comunidad. Los pitagóricos le erigieron una tumba como si para ellos ya hubiera muerto. Parece probable que fue Hipaso mismo este personaje que reveló por primera vez la existencia de longitudes inconmensurables y precisamente a través de un estudio del pentágono regular como veremos más adelante. Iámblico acusa a Hipaso de haberse atribuído el mérito de sus descubrimientos, "siendo así que todos proceden de El", es decir de Pitágoras. Se puede pensar razonablemente que Hipaso fue un gran matemático que efectivamente dió por primera vez con la existencia de longitudes inconmensurables, es decir tales que una no es un múltiplo de una parte de la otra, dando con ello al traste con la acariciada creencia de los pitagóricos primitivos de que todo debe estar regido por los números enteros y las proporciones entre ellos. La versión que Iámblico cuenta, acusando a Hipaso de plagio, proviene según la conjetura de van der Waerden, del círculo de pitagóricos matemáticos anónimos entre 480-430 de quienes la tomó Aristóteles mismo. Estos pitagóricos fueron potentes matemáticos con la estrategia común de atribuir a Pitágoras mismo sus descubrimientos matemáticos.
¿Como pudo tener lugar
el descubrimiento de Hipaso de los inconmensurables?. En 1954 Kurt von Fritz publicó un artículo importante, The
Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum, Annals of
Mathematics 46 (1954), 242-264. De acuerdo con sus investigaciones se
puede pensar que fue más o menos como sigue. Los pitagóricos primitivos estaban
profundamente familiarizados con el pentágono regular. Según parece el emblema
que les servía para reconocimiento mutuo era el pentagrama, es decir la
estrella de cinco puntas formada por las diagonales de un pentágono regular.
En
sus cinco vértices solían colocar las letras de la palabra ugieia,
salud. Las razones de la especial veneración de los pitagóricos por esta figura
no nos es bien conocida, pero uno se inclina a pensar que en ella, al igual que
en la tetraktis, que luego examinaremos más a fondo, encontraban armonías
geométricas y numéricas extraordinariamente llamativas. Es fácil ver que todos
los ángulos que aparecen en la figura son múltiplos enteros del más pequeño de
entre ellos (72º=2x36º, 108º=3x36º, 144º=4x36º, 180º=5x36º). Parece natural que
los pitagóricos se preguntaran sobre la proporción en que se encuentran también
los segmentos que aparecen en esta figura.
No es difícil ver, siempre con los elementos que los pitagóricos del tiempo de Hipaso tenían a su disposición, que cada segmento de los dibujados está con el que es inmediatamente mayor exactamente en la misma proporción, que es precisamente la proporción los pitagóricos tenían ya, como veremos más tarde en detalle, el proceso denominado antanairesis, o cancelación de uno y otro lado, que se corresponde geométricamente con el llamado algoritmo de Euclides para hallar el máximo común divisor de dos números. Supongamos que los segmento señalados en la figura por AD y EG son conmensurables es decir que existe un segmento u tal que AD mide mu y EG mide nu. Tratamos de determinar la fracción m/n. Podemos suponer que m/n está en forma irreducible, es decir, suponemos que no existen números naturales, m* menor que m, y n* menor que n, tales que m/n=m*/n*. De la figura misma es sencillo deducir que GI mide (m-n)u y que GF mide (2n-m)u. Por otra parte es claro que AD y GI son diagonales de pentágonos regulares de lados EA= EG y GF respectivamente. Por tanto AD/EG=GI/GF, es decir m/n=(m-n)/(2n-m). LLamando m*= m-n, n*=2n-m, hemos obtenido una contradicción con nuestra hipótesis de que m/n era fracción irreducible. Así nuestro punto de partida de que AD y EG son conmensurables es falso.
Así como entre los pitagóricos acusmáticos, como es natural, apenas se pueden distinguir etapas evolutivas, entre los pitagóricos matemáticos que se dedicaron al desarrollo de la ciencia estas etapas se pueden diferenciar con cierta probabilidad. Así van der Waerden distingue cinco generaciones en el pitagorismo entre los años 530-360.
No es difícil ver, siempre con los elementos que los pitagóricos del tiempo de Hipaso tenían a su disposición, que cada segmento de los dibujados está con el que es inmediatamente mayor exactamente en la misma proporción, que es precisamente la proporción los pitagóricos tenían ya, como veremos más tarde en detalle, el proceso denominado antanairesis, o cancelación de uno y otro lado, que se corresponde geométricamente con el llamado algoritmo de Euclides para hallar el máximo común divisor de dos números. Supongamos que los segmento señalados en la figura por AD y EG son conmensurables es decir que existe un segmento u tal que AD mide mu y EG mide nu. Tratamos de determinar la fracción m/n. Podemos suponer que m/n está en forma irreducible, es decir, suponemos que no existen números naturales, m* menor que m, y n* menor que n, tales que m/n=m*/n*. De la figura misma es sencillo deducir que GI mide (m-n)u y que GF mide (2n-m)u. Por otra parte es claro que AD y GI son diagonales de pentágonos regulares de lados EA= EG y GF respectivamente. Por tanto AD/EG=GI/GF, es decir m/n=(m-n)/(2n-m). LLamando m*= m-n, n*=2n-m, hemos obtenido una contradicción con nuestra hipótesis de que m/n era fracción irreducible. Así nuestro punto de partida de que AD y EG son conmensurables es falso.
Así como entre los pitagóricos acusmáticos, como es natural, apenas se pueden distinguir etapas evolutivas, entre los pitagóricos matemáticos que se dedicaron al desarrollo de la ciencia estas etapas se pueden diferenciar con cierta probabilidad. Así van der Waerden distingue cinco generaciones en el pitagorismo entre los años 530-360.
1ª Generación (530-500):
Pitágoras.
2ª Generación (520-480): Hipaso de Metaponto, Alcmeon.
3ª Generación (480-430): Matemáticos anónimos.
4ª Generación (440-400): Filolao, Teodoro.
5ª Generación (400-360): Arquitas de Tarento.
Los matemáticos anónimos de la tercera generación debieron de constituir un grupo muy interesante del que Aristóteles se hace eco con admiración. De ellos habla como de los fundadores de la matemática tal como se cultivaba en su tiempo, una matemática bien adulta, rigurosa y ampliamente evolucionada. De ellos decía Aristóteles(según Iámblico De communi math. sci. 78) que "estiman mucho la exactitud de la argumentación en las ciencias matemáticas, porque solo ellas poseen demostraciones". Más adelante tendremos ocasión de examinar el fuerte impacto que dejaron en la geometría y en la aritmética, que quedó plasmado en los Elementos de Euclides.
2ª Generación (520-480): Hipaso de Metaponto, Alcmeon.
3ª Generación (480-430): Matemáticos anónimos.
4ª Generación (440-400): Filolao, Teodoro.
5ª Generación (400-360): Arquitas de Tarento.
Los matemáticos anónimos de la tercera generación debieron de constituir un grupo muy interesante del que Aristóteles se hace eco con admiración. De ellos habla como de los fundadores de la matemática tal como se cultivaba en su tiempo, una matemática bien adulta, rigurosa y ampliamente evolucionada. De ellos decía Aristóteles(según Iámblico De communi math. sci. 78) que "estiman mucho la exactitud de la argumentación en las ciencias matemáticas, porque solo ellas poseen demostraciones". Más adelante tendremos ocasión de examinar el fuerte impacto que dejaron en la geometría y en la aritmética, que quedó plasmado en los Elementos de Euclides.
Filolao de Crotona, de
la 4ª generación, fue de estilo grandilocuente y ampuloso, sin mucho rigor
matemático. Su astronomía también carece de rigor científico. Conocía y
utilizaba los conocimientos matemáticos, pero su lógica y su matemática resulta
más bien floja.
ARMONÍA DEL COSMOS
Pocos
filósofos y muchos menos han sido los científicos que hayan sabido encarnar sus
enseñanzas con elementos sensibles con tanto acierto como Pitágoras. La famosa
armonía de las esferas de la enseñanza pitagórica primitiva era mucho más
profunda que la mera conjetura de la consonancia de las notas que los astros
producen en su movimiento.
Para Pitágoras la visión fundamental consistió en que el universo es un cosmos, un todo ordenado y armoniosamente conjuntado. El destino del hombre consiste en considerarse a sí mismo como una pieza de este cosmos, descubrir el lugar propio que le está asignado y mantener en sí y en su entorno, en lo que está de su parte, la armonía que es debida de acuerdo con el orden natural de las cosas.
Para Pitágoras la visión fundamental consistió en que el universo es un cosmos, un todo ordenado y armoniosamente conjuntado. El destino del hombre consiste en considerarse a sí mismo como una pieza de este cosmos, descubrir el lugar propio que le está asignado y mantener en sí y en su entorno, en lo que está de su parte, la armonía que es debida de acuerdo con el orden natural de las cosas.
La
armonía cósmica entendida en este sentido fue probablemente una audaz
conclusión de madurez a la que Pitágoras llegó a través de la observación de la
congruencia de sus consideraciones científicas sobre números, figuras, notas
musicales, con las ideas orientales sobre el alma, los astros y la divinidad.
Los
números constituían el armazón inteligible de las formas en la aritmética
figurativa de los pitagóricos, construída por ellos mediante piedras (psefoi,
cálculos). Al mismo tiempo los números desvelaban las proporciones que regían las
consonancias musicales. ¿No era natural ver en el número el principio
inteligible a través del cual el cosmos divino gobernado por el espíritu
manifestaba al hombre su armonía interna?.
Según
cuenta Porfirio (Vita Pyth. 30-31) y Iámblico (Vita Pyth. 64-66) en un pasaje
que toman de Nicómaco de Gerasa (ca 50-150 d. de C.), quien por su parte parece
hacerse eco de fuentes pitagóricas antiguas, Pitágoras "dirigía su oído y
su espíritu hacia las sublimes consonancias del cosmos gracias a una inefable
capacidad divina difícil de imaginar. Con ello oía y entendía él solo, según
explicaba, toda la armonía y el concierto de las esferas y los astros que en él
se mueven".
La
música era a la vez entre los pitagóricos el símbolo de la armonía del cosmos y
un medio para lograr el equilibrio interno en el espíritu mismo del
hombre.
EL JURAMENTO PITAGÓRICO
Bajo diversas formas se ha conservado una breve fórmula pitagórica de difícil
interpretación que, según es de suponer, contenía algo muy cercano a la quinta
esencia del espíritu pitagórico. En la versión más corriente reza así:
"No, por Aquél que ha entregado a nuestras almas la Tetraktis, una
fuente que contiene las raíces de la naturaleza eterna".
Al parecer constituye un juramento de secreto sobre el contenido de la
enseñanza pitagórica, reservado a miembros de la comunidad exclusivamente.
"Aquél", por supuesto, es Pitágoras mismo, a quien los pitagóricos
primitivos no osaban nombrar. La Tetraktis, o cuaterna, consiste
probablemente en los números 1,2,3,4, que conjuntamente solían representar los
pitagóricos en esta forma figurativa
¿En qué sentido la Tetraktis podía ser "fuente de las raíces de la
naturaleza eterna"?. Según parece, la Tetraktis alude a la iluminación
pitagórica inicial y fundamental sobre las proporciones numéricas que rigen las
notas musicales consonantes: el tono (1:1), la octava (1:2), la quinta (3:2) y
la cuarta (4:3). Más adelante tendremos ocasión de considerar en detalle los
experimentos musicales con cuerdas que pusieron de manifiesto tales
proporciones. En la experiencia pitagórica esta observación debió de constituir
el estímulo decisivo hacia la extrapolación cuasimística de que el cosmos es en
algún modo alcanzable a través del número. Tal vez es en este sentido en el que
se exalta la Tetraktis como fuente del conocimiento de las raíces de la armonía
de la naturaleza eterna, en el cual se basa la existencia pitagórica.
El conjunto constituye la Década, la totalidad de Universo: 4: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 → 1 + 0 = 1.
Tetraktys pitagórica
1. La Unidad: Lo Divino, origen de todas las cosas. El ser inmanifestado.
2. La Díada: Desdoblamiento del punto, origen de la pareja masculino-femenino. Dualismo interno de todos los seres.
3. La Tríada: Los tres niveles del mundo: celeste, terrestre, infernal, y todas las trinidades.
4. El Cuaternario: los cuatro elementos, tierra, aire, fuego y agua, y con ellos la multiplicidad del universo material.
El conjunto constituye la Década, la totalidad de Universo: 4: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 → 1 + 0 = 1.
Se puede uno preguntar: ¿cuál fue el sentido del secreto pitagórico que el
juramento solemnemente impone?. Entonces, como hoy, el secreto compartido
constituye un fuerte vínculo de conexión de los miembros de una comunidad
reducida. La comunidad pitagórica llegó a tener una complicada organización
interna, con largos períodos de noviciado, pruebas de silencio -los discipulos que ingresaban en la fraternidad debían mantener un estricto voto de silencio durante 5 años (!)
y de robustecimiento del espíritu a través de experiencias encaminadas a fomentar la humildad y la asimilación paulatina del espíritu pitagórico. Muchas de las doctrinas esotéricas de los pitagóricos se prestaban, fuera de su contexto total, a malentendidos que era conveniente evitar. Las mismas enseñanzas matemáticas cobraban probablemente un halo especial colocadas dentro del ambiente de los iniciados pitagóricos, constituyendo para ellos un soporte de su camino de vida con un significado que va mucho más allá del carácter de mera curiosidad especulativa que podía constituir para los espectadores externos. Por otra parte, en la vida religiosa de la Grecia contemporánea a Pitágoras abundaban extraordinariamente los misterios o ceremonias asimismo secretas de iniciación y purificación progresiva, con la finalidad de provocar en el espíritu del iniciado un estado de veneración, fervor religioso y entusiasmo místico, llevadas a cabo en una parte oculta del templo. Los festivales nacionales de Delfos, Eleusis, incluían misterios celebrados con genuina exaltación religiosa. Parece muy probable que Pitágoras adoptase en la tarea de formación de sus adeptos los métodos y técnicas que había observado ser de gran eficacia..
Este rasgo secretista de la enseñanza pitagórica primitiva fue mitigado más
adelante. El "No" rotundo del juramento aparece convertido en sí en
los Versos Aureos, una compilación de enseñanzas pitagóricas escrita
probablemente en el segundo o tercer siglo después de Cristo, teniendo a la
vista fuentes mucho más antiguas, y destinada a expandir la doctrina pitagórica
a todos los hombres.
INMORTALIDAD DEL ALMA
Porfirio, en su biografía de Pitágoras (Vita Pyth. 19) transmite un testimonio
de Dicaiarcos un alumno de Aristóteles, que resume las enseñanzas de Pitágoras
en estos cuatro puntos:
(1) Que el alma es
inmortal.
(2) Que las almas cambian su lugar, pasando de una forma de vida a otra.
(3) Que todo lo que ha sucedido retorna en ciertos ciclos y que no sucede nada realmente nuevo.
(4) Que hay que considerar todos los seres animados como emparentados entre sí.
La creencia pitagórica del origen divino del alma viene expresada en los versos áureos cno las siguientes palabras: "63. "Pero tú ten ánimo. De naturaleza divina son los mortales".
(2) Que las almas cambian su lugar, pasando de una forma de vida a otra.
(3) Que todo lo que ha sucedido retorna en ciertos ciclos y que no sucede nada realmente nuevo.
(4) Que hay que considerar todos los seres animados como emparentados entre sí.
La creencia pitagórica del origen divino del alma viene expresada en los versos áureos cno las siguientes palabras: "63. "Pero tú ten ánimo. De naturaleza divina son los mortales".
Este aspecto de la filosofía pitagórica aparece fuertemente emparentado con la mentalidad del orfismo, un movimiento religioso que, probablemente viniendo de oriente, se instaura en Grecia empezando por Tracia en siglo VI a. de C. La Grecia anterior al siglo VI tenía en los libros homéricos un equivalente de las escrituras sagradas de otros pueblos. El pensamiento de un alma inmortal es totalmente ajeno al espíritu griego antiguo. Pero al parecer esta situación cambió radicalmente a partir del siglo VI, muy posiblemente bajo la influencia de multitud de movimientos religiosos que procedentes de Persia, de la India, de Egipto, se asentaron en el mundo griego. De hecho el panorama de creencias religiosas es totalmente diferente en el siglo IV a. de C. El orfismo tenía a Diónisos como dios y a Orfeo como su sacerdote, reuniendo cierto sentido místico con una ascética de purificación. El espíritu humano procede de otro mundo y se encuentra como desterrado en este, encadenado al cuerpo por la sensualidad. Existe un mundo de acá y otro de más allá y la vida debe vivirse como una fuga de lo terreno.
Muy probablemente Pitágoras amalgamó elementos órficos con otros, posiblemente
de origen persa, como el del eterno retorno que aparece mencionado en el punto
3 de Diocaiarcos, y con sus propias concepciones sobre la constitución del
cosmos y sobre el modo concreto de purificación a través de la contemplación,
dando primacía al elemento racional y matemático sobre el poético de aquellas
cosmmogonías primitivas, para producir una síntesis que resultó profundamente
atrayente no sólo para sus contemporáneos, sino para los muchos movimientos de
inspiración pitagórica durante más de diez siglos.
Al parecer, en el modo de vida de los pitagóricos primitivos la metafísica como
tal era poco importante. Lo que verdaderamente importaba era la vida pura,
concretada en la armonía del alma con el cosmos, que habría de concluir con la
liberación del alma del círculo de reencarnaciones. Lo que importaba era la
elevación del alma al cielo de los bienaventurados tras la muerte.
LA MEDITACION ENTRE LOS PITAGÓRICOS
Sabemos que Pitágoras dividía a sus
discípulos en candidatos o acusmáticos y esotéricos o geómetras; “A los
neófitos les imponía un silencio durante cinco años, poniendo a prueba su
autocontrol, pues el dominio del habla es más difícil que las demás
autodisciplinas” (Jámblico, 17, 72). “Si los candidatos se mostraban dignos de
participar en las doctrinas”, tras el silencio quinquenal “se convertían en
esotéricos y dentro del velo escuchaban y veían a Pitágoras” (Jámblico 17, 72)
Sin embargo, sus enseñanzas esotéricas apenas se conocen porque la prohibición
de divulgarlas fue estrictamente observada. A esto contribuyó seguramente el
método simbólico con que venían expuestas. Incluso las enseñanzas más externas
o exotéricas, al ser expresadas también en forma de máximas “no han sido
compuestas de una manera inteligible” dado que los pitagóricos venían obligados
a “guardar silencio sobre los misterios divinos” y sobre todos los “modos
arcanos de expresarse para los no iniciados y recubrían con símbolos sus
conferencias y escritos” (Jámblico, 23, 104).
Enseñaba la “ciencia contemplativa” mediante la abstinencia “de ciertos alimentos que son un obstáculo a la vigilancia y pureza del pensamiento”. Toda vez que el cuerpo (sõma) es como una tumba o cárcel (sêma) en la que el alma vive encadenada a la materia, es decir, al imperio de los sentidos, el método de los pitagóricos propone la reunificación a través de un proceso de desprendimiento o purificación por el que el alma recupere cierta relación de sintonía, homogeneidad o resonancia con el mundo espiritual, dado que sólo los iguales pueden conocerse. Tal resonancia solo es posible cuando el hombre resigna y unifica sus sentidos y potencias. ¿Cómo? Apenas sabemos nada sobre las prácticas ascéticas y meditativas de los pitagóricos. Por algunas menciones de Numenio y Plotino sabemos que se practicaban ejercicios de concentración y meditación mediante la recitación de monosílabos a los que se atribuía un carácter mágico o taumatúrgico. Especialmente las palabras griegas on (esencia o existencia) o hen (Unidad). Por herencia órfica, sabemos que los pitagóricos practicaban la meditación acompasada con ciertos ejercicios de respiración. Refiriéndose a Pitágoras y otros sabios que alcanzaban trances o visiones, Porfirio comenta que dominaba “todo tipo de técnicas de sabiduría, pues había adquirido un inmenso tesoro en sus prápides, porque cuando concentraba toda la fuerza de sus prápides, sin esfuerzo alcanzaba a visualizar en detalle las cosas de diez o veinte generaciones de hombres” (Vida de Pitágoras, 31). Siendo la traducción más probable de prápides, “pulmones”, tales técnicas de respiración empleadas por Pitágoras y otros sabios como Parménides, Epiménides, etc. consistirían, seguramente, en una forma de control del pensamiento mediante la concentración en la respiración que, certeramente, se ha puesto en relación con la técnica de respiración oriental del pranayama o de concentración en el hara (centro del abdomen).
Uno de los conceptos más
extraños y significativos de las prácticas meditativas de los pitagóricos que
buscaban la unión mística con Apolo (el Uno), es el llamado «salto de Leúcade».
Leúcade es una isla griega consagrada a Apolo con unos formidables acantilados
(desde los que se arrojó la poetisa Safo). Al acudir a ese símbolo, los
pitagóricos se estaban refiriendo a un momento crucial de la práctica
meditativa en que, desconectados los sentidos y resignadas todas las potencias,
finalmente hay que entregarse totalmente, ceder el control y abandonarse por
completo a la meditación. Es el instante liminal previo al éxtasis o “visión”
del Uno, es decir, de la unidad esencial del Ser. En algunos casos, las resistencias
psico-mentales a ceder el control se traducen momentáneamente en dificultades
respiratorias, taquicardias, pérdidas de conocimiento (no pérdidas de
consciencia), etc., todo lo cual es representado por el miedo a saltar al
precipicio. El buscador espiritual que anhela tener la “visión” del Uno ha de
estar dispuesto, llegado el momento, a dar el salto final que reafirme su
voluntad de trascender los lazos del cuerpo y la servidumbre de la materia. En
cuanto último obstáculo del contemplativo, el precipicio tiene el mismo
significado que el Dragón que vigila el acceso al tesoro depositado en los
Infiernos o que custodia a la Dama cautiva (recuérdese el descenso de Orfeo a
los infiernos para rescatar a Eurídice), o el héroe que ha de atravesar unas
rocas entrechocantes (symplegades). Se trata de una prueba definitiva en la que
el aspirante ha de arriesgar la vida.
El «salto de Leúcade», en suma, es la última prueba en el itinerario espiritual del que aspira a vencerse a sí mismo.
LA MEDITACION ENTRE LOS PITAGÓRICOS
Enseñaba la “ciencia contemplativa” mediante la abstinencia “de ciertos alimentos que son un obstáculo a la vigilancia y pureza del pensamiento”. Toda vez que el cuerpo (sõma) es como una tumba o cárcel (sêma) en la que el alma vive encadenada a la materia, es decir, al imperio de los sentidos, el método de los pitagóricos propone la reunificación a través de un proceso de desprendimiento o purificación por el que el alma recupere cierta relación de sintonía, homogeneidad o resonancia con el mundo espiritual, dado que sólo los iguales pueden conocerse. Tal resonancia solo es posible cuando el hombre resigna y unifica sus sentidos y potencias. ¿Cómo? Apenas sabemos nada sobre las prácticas ascéticas y meditativas de los pitagóricos. Por algunas menciones de Numenio y Plotino sabemos que se practicaban ejercicios de concentración y meditación mediante la recitación de monosílabos a los que se atribuía un carácter mágico o taumatúrgico. Especialmente las palabras griegas on (esencia o existencia) o hen (Unidad). Por herencia órfica, sabemos que los pitagóricos practicaban la meditación acompasada con ciertos ejercicios de respiración. Refiriéndose a Pitágoras y otros sabios que alcanzaban trances o visiones, Porfirio comenta que dominaba “todo tipo de técnicas de sabiduría, pues había adquirido un inmenso tesoro en sus prápides, porque cuando concentraba toda la fuerza de sus prápides, sin esfuerzo alcanzaba a visualizar en detalle las cosas de diez o veinte generaciones de hombres” (Vida de Pitágoras, 31). Siendo la traducción más probable de prápides, “pulmones”, tales técnicas de respiración empleadas por Pitágoras y otros sabios como Parménides, Epiménides, etc. consistirían, seguramente, en una forma de control del pensamiento mediante la concentración en la respiración que, certeramente, se ha puesto en relación con la técnica de respiración oriental del pranayama o de concentración en el hara (centro del abdomen).
El «salto de Leúcade», en suma, es la última prueba en el itinerario espiritual del que aspira a vencerse a sí mismo.
LA GEOMETRÍA DE LOS
PITAGÓRICOS.
La
principal fuente de nuestro conocimiento sobre la geometría de los pitagóricos
se encuentra en el comentario de Proclo a los Elementos de Euclides. Proclo
escribe en Alejandría, muy alejado de Pitágoras en el tiempo, pues vivió del
410 al 485 d. de C., pero es seguro que tuvo ante sus ojos la Historia de la
Geometría que Eudemo, un discípulo de Aristóteles, escribió hacia el año 320 a.
de C. Al comienzo de su comentario a los Elementos Proclo transmite un resumen
de lo que fue la historia de Eudemo. Otra fuente de considerable importancia es
el mismo libro de los Elementos de Euclides. Señalaré a continuación algunas de
las porciones de los elementos que parecen provenir de fuentes pitagóricas, a
juzgar por diversos testimonios y por razones lógicas internas.
LA YUXTAPOSICIÓN DE
SUPERFICIES
Euclides,
en I, 44, propone la siguiente construcción:
"Yuxtaponer a un segmento dado, según un ángulo dado, un paralelogramo que sea igual (en área) a un triángulo dado".
En su comentario a este ejercicio escribe Proclo:
"Estas cosas son antiguas, como afirman los que siguen a Eudemo, y son invenciones de los pitagóricos, a saber la yuxtaposición (parabolé) de superficies, su exceso (hyperbolé) y su defecto (elleipsis).
"Yuxtaponer a un segmento dado, según un ángulo dado, un paralelogramo que sea igual (en área) a un triángulo dado".
En su comentario a este ejercicio escribe Proclo:
"Estas cosas son antiguas, como afirman los que siguen a Eudemo, y son invenciones de los pitagóricos, a saber la yuxtaposición (parabolé) de superficies, su exceso (hyperbolé) y su defecto (elleipsis).
De ellas tomaron los más recientes los nombres y los aplicaron a las llamadas
secciones del cono y las denominaron a una parábola, a la ota hipérbola y a la
tercera elipse, mientras que aquellos antiguos y divinos hmbres (los
pitagóricos) dieron significado a estos nombres fundamentándose en la
construcción de superficies planas sobre un segmento".
Los problemas de yuxtaposición de superficies se pueden proponer e forma más
sencilla, como lo hicieron los pitagóricos, omitiendo la referencia a
paralelogramos, del siguiente modo:
(A) Yuxtaponer
a un segmento dado AB un rectángulo R que sea igual (en área) a un triángulo
dado (parabolé).
(Para
nosotros, resolver ya=S)
(B) Yuxtaponer
a un segmento dado AB un rectángulo R igual a un triángulo dado S de modo que
le falte un cuadrado Q (elleipsis).
(Para nosotros, resolver xy=S, x+y=a)
(C) Yuxtaponer
a un segmento dado AB un rectángulo R igual a un triángulo dado S de modo que
le sobre un cuadrado Q (hyperbolé).
(Para nosotros,
resolver xy=S, x-y=a)
Como
se ve, la solución de estos problemas equivale a la de una ecuación de segundo
grado. Los problemas son extraordinariamente importantes y así Euclides los
trata en tres ocasiones diferentes.
La solución de los griegos procede como lo haríamos nosotros mismos, sólo que
todo viene fraseado geométricamente. Si queremos resolver xy=S, x-y=a, lo
reducimos a y(y+a)= S, que se puede poner, completando el cuadrado y^2+ay
+(a/2)^2= S+ +(a/2)^2, es decir (y+a/2)^2 = S + (a/2)^2. Se trata ahora de
construir un cuadrado de área igual a la de S+(a/2)^2 y así se obtiene y+a/2 y
por tanto y. Todas estas operaciones algebraicas son las que aparecen e
lenguaje puramente geométrico en la solució de Euclides. Si, como opina van der
Waerden y otros muchos, es cierto lo que Proclo afirma sobre el origen
pitagórico de estos problemas y sus soluciones, se puede pensar que los
pitagóricos, probablemente ya los pitagóricos anónimos de la tercera
generación, si no antes, tuvieron conocimiento de una parte bien substanciosa
de los Elementos, en particular, por lo que de aquí se desprende, de I-45,
I-47, II-5, II-6, II-14, que contienen las herrmientas para las soluciones de
los problemas de yuxtaposición de superficies.
POLIGONOS REGULARES
De
todas las construcciones del libro IV la más interesante es la que se refiere
al pentágono regular (IV, 10-11). esta construcción se apoya de modo decisivo
en la observación de que cada diagonal corta a otra en dos segmentos en
proporción áurea, o bien en lo que Euclides llama "media y extrema
razón". Los pitagóricos tenían especiales razones como hemos visto, para
ocuparse intensamente del pentágono regular. La estrella formada por las
diagonales, el pentagrama, era su símbolo de reconocimiento y de deseo de
salud. Parece natural pensar en un intenso interés por construir exactamente
tal figura y por entenderla racionalmente a fondo. Como hemos visto antes al
tratar de Hipaso, el dodecaedro regular, y por tanto el pentágono regular,
entrañaban para los pitagóricos hechos muy fundamentales. En este contexto
pienso que se debe hacer notar que las consideraciones sobre la inconmensurabilidad
de la diagonal con el lado que antes hicimos son independientes de la
posibilidad de construcción efectiva del pentágono regular. No es necesario
pensar que Hipaso supiera construir el pentágono regular al modo de Euclides,
aunque tampoco hay motivos para pensar que efectivamente no lo supo. Por otra
parte, la construcción de la "media y extrema razón" que en Euclides
aparece en II, 11, no requiere otra cosa que la solución de un problema de
yuxtaposición de superficies, que los pitagóricos antiguos, según hemos visto,
dominaban totalmente. Así teniendo en cuenta estas conexiones lógicas, se puede
concluir que los pitagóricos conocieron la construcción de la razón áurea que
se propone en los Elementos II, 11.
Guiados
por los testimonios históricos, por argumentos de tipo lógico como los aducidos
y por otros derivados del estilo de presentación y de congruencia interna,
tanto van der Waerden como otros historiadores llegan a la conclusión de que
los libros II y IV de los Elementos proceden completa o casi completamente de
los pitagóricos.
Del libro III, relativo a cuerdas y tangentes en el círculo y de ángulos en el
círculo, Neuenschwander ha mostrado que una gran parte era conocida de los
pitagóricos antiguos y de Hipócrates de Quíos. El libro I de los Elementos
tiene un carácter mucho menos transparente. Se puede aventurar que tal vez los
pitagóricos hayan formulado una axiomática incipiente, pues los axiomas
1,2,3,7,8 son citados verbalmente (estilo pitagórico) en los libros II y IV, de
procedencia más claramente pitagórica. La proposición I, 29 sobre la igualdad
de los ángulos determinados por paralelas era conocida de los pitagóricos que
demostraron mediante ella que la suma de los ángulos de un triángulo mide dos
rectos. Conocieron también I,47(el "teorema de Pitágoras"), pero la
demostración que poseían era a través de la teoría de proporciones, que
Euclides evita en este libro.
Para acabar con los puntos más sobresalientes de la geometría de los
pitagóricos se puede decir que, de acuerdo con un escolio al libro XIII de los
Elementos, los pitagóricos conocieron de los cuerpos regulares, el cubo, el
tetraedro y el dodecaedro. Según el mismo escolio, que parece muy verosímil, el
octaedro y el icosaedro parecen haber sido estudiados por vez primera por
Teeteto, en la primera mitad del siglo IV a. de C.
LA ARITMÉTICA DE LOS
PITAGÓRICOS.
Al estudiar la aritmética de los pitagóricos es necesario distinguir claramente entre la aritmética científica y la aritmética popular. La aritmética científica de los griegos se encuentra resumida en los libros VII, VIII y IX de los Elementos de Euclides que fueron escritos hacia el año 300 a. de C. Por testimonios históricos se puede concluir que algunas porciones de los libros VII y VIII es obra de los pitagóricos. En particular el libro VII debe de proceder de los matemáticos anónimos anteriores a Arquitas y el VIII de los de la escuela de Arquitas. Algunas porciones del libro IX, como la doctrina del "par e impar" es anterior incluso a los pitagóricos anónimos y posiblemente procede del tiempo de Hipaso de Metaponto (hacia el año 500 a. de C.).
No me ocuparé aquí de detallar específicamente el contenido de esta aritmética
científica, pues esto será realizado en otra conferencia de esta serie, por el
profesor Alberto Dou, dedicada a Euclides. Sólo quisiera señalar dos puntos
particularmente notables de la aritmética de los Elementos, de los cuales uno
con seguridad es de procedencia pitagórica y el otro con gran probabilidad también.
El primero se refiere a los llamados "números lado y diagonal". El
segundo es el llamado "algoritmo de Euclides" para la obtención del
máximo común divisor de dos números. Los números lado y diagonal constituyen
pares de números formados recursivamente que servían a los pitagóricos para
aproximar mediante fracciones, cada vez con mayor exactitud, la relación entre
la diagonal y el cuadrado, es decir para aproximar la raíz de 2. De esta forma
se expresa Proclo en su comentario al libro sobre la República de Platón:
"La unidad, como origen de todos los números, es potencialmente tanto lado como diagonal. Se toman ahora dos unidades: una como unidad-lado y otra como unidad-diagonal y se forma un nuevo lado, añadiendo a la unidad-lado la unidad-diagonal, y una nueva diagonal, añadiendo a la unidad-diagonal el doble de la unidad-lado"
"La unidad, como origen de todos los números, es potencialmente tanto lado como diagonal. Se toman ahora dos unidades: una como unidad-lado y otra como unidad-diagonal y se forma un nuevo lado, añadiendo a la unidad-lado la unidad-diagonal, y una nueva diagonal, añadiendo a la unidad-diagonal el doble de la unidad-lado"
El proceso de formación de los pares de números lado y diagonal prosigue de la
misma forma. El nuevo lado es suma de los números lado y diagonal anteriores,
la nueva diagonal es la suma de la diagonal anterior y dos veces el lado
anterior, es decir:
¿De dónde proviene la extraña idea de este proceso recursivo, probablemente el primero de tal naturaleza en la historia de la matemática?.
Según Proclo, los pitagóricos demostraron el siguiente teorema:
" Si L y D son lado y diagonal de un cuadrado, entonces también L* =L+D y D*=D+2L son lado y diagonal de un cuadrado"
Y
Proclo afirma que la demostración de los pitagóricos de esta propiedad se
realizó mediante la proposición II, 10 de los Elementos de Euclides, que
representa la identidad que nosotros escribiríamos así
(2X+Y)2+Y2=2X2+2(X+Y)2
En efecto, si suponemos que X=L, Y=D son lado y diagonal de un cuadrado, se tiene D2=2L2 y así substituyendo arriba y simplificando Y2=2X2, resulta
En efecto, si suponemos que X=L, Y=D son lado y diagonal de un cuadrado, se tiene D2=2L2 y así substituyendo arriba y simplificando Y2=2X2, resulta
(2L+D)2=2(L+D)2
es decir, 2L+D es diagonal del cuadrado de lado L+D.
Es posible que la idea original de tal hilo de pensamiento y de demostración esté implicita en el proceso de antanairesis con el que, según O.Becker y otros (Cf. O.Becker, Grösse und Grenze der Mathematischen Denkweise, Karl Alber Verlag, 1959; trad. esp. Rialp, 1969) se procedía originariamente a la demostración de la irracionalidad de raíz de 2. El proceso aparece muy claramente sugerido por la siguiente figura:
es decir, 2L+D es diagonal del cuadrado de lado L+D.
Es posible que la idea original de tal hilo de pensamiento y de demostración esté implicita en el proceso de antanairesis con el que, según O.Becker y otros (Cf. O.Becker, Grösse und Grenze der Mathematischen Denkweise, Karl Alber Verlag, 1959; trad. esp. Rialp, 1969) se procedía originariamente a la demostración de la irracionalidad de raíz de 2. El proceso aparece muy claramente sugerido por la siguiente figura:
Si
l1=EF y d1=EC son lado y diagonal de un cuadrado, entonces DC=l2=l1+d1 y
AC=d2=d1+2l1 son también lado y diagonal de otro cuadrado. El proceso de
antanairesis es efectivamente la vuelta atrás del proceso de construcción de
los pares de números lado y diagonal. En realidad, desde el punto de vista
matemático es mucho más razonable pensar que el camino de las ideas fue el
inverso, es decir, a fin de hallar la unidad común, si existe, capaz de medir
al tiempo lado l2 y diagonal d2, era natural substraer de la diagonal el
lado l2, obteniendo así CF y luego tratar de hallar la unidad común de
CF=l1 y DC=d2, restando CF=EF=DE de DC para obtener así EC=d1. Al tratar
de obtener la unidad común de EC=d1 y FC=l1 observamos que estamos en
las condiciones iniciales pues d1 y l1 son diagonal y lado de un
nuevo cuadrado. El proceso no acaba nunca y esto viene a demostrar la no
existencia de tal unidad común. La vuelta atrás de esta antanairesis aplicada
al cuadrado fue probablemente la motivación del método de construcción de los
números lado y diagonal.
El proceso de antanairesis que hemos seguido no es otra cosa que la versión geométrica del algoritmo de Euclides para la obtención del máximo común divisor de dos números (VII, 33). Así, tanto por la estructura lógica de los libros VII y VIII de los Elementos como por consideraciones históricas, parece razonable concluir que los pitagóricos, en particular probablemente alguno de los matemáticos anónimos del siglo V conoció y estructuró estos dos algoritmos de una brillantez y profundidad que aún hoy día nos llenan de asombro.
El proceso de antanairesis que hemos seguido no es otra cosa que la versión geométrica del algoritmo de Euclides para la obtención del máximo común divisor de dos números (VII, 33). Así, tanto por la estructura lógica de los libros VII y VIII de los Elementos como por consideraciones históricas, parece razonable concluir que los pitagóricos, en particular probablemente alguno de los matemáticos anónimos del siglo V conoció y estructuró estos dos algoritmos de una brillantez y profundidad que aún hoy día nos llenan de asombro.
La aritmética popular de los pitagóricos tenía otro sabor totalmente distinto
del de estos retazos de la aritmética científica que hemos examinado. Su
finalidad era hacer inteligible a todos las fascinantes propiedades de los
números. La principal fuente de nuestro conocimiento de esta aritmética es la
Introducción a la Aritmética de Nicómaco de Gerasa (ca. 50-150 d. de C.), obra
que se extendió extraordinariamente a juzgar por el gran número de manuscritos
(44) que de ella se conservan. En este trabajo aparecen por extenso la teoría
figurativa de los números, los números triangulares, cuadrados rectangulares,
pentagonales, etc. y se habla de las fabulosas y místicas propiedades de
ciertos números en concreto.
ARMONÍA CIENTÍFICA DE LOS
PITAGÓRICOS.
La
armonía, como hemos visto anteriormente, está en el corazón mismo del
pitagorismo. La música era el método de elevación y purificación del alma y al
mismo tiempo objeto de contemplación intelectual que revelaba, con sus
congruencias expresables mediante relaciones numéricas, la armonía más profunda
del cosmos. La capacidad cuasimágica de la música es elemento heredado por el
pitagorismo de las corrientes órficas más primitivas. El análisis científico de
los sonidos armónicos es en cambio rasgo muy específicamente pitagórico, que
casi con toda seguridad se remonta al mismo Pitágoras.
Existen varias versiones sobre el modo concreto como Pitágoras llegó a
desentrañar las relaciones numéricas entre los sonidos consonantes, es decir
aquellos cuya producción simultánea origina una sensación agradable en nuestro
oído: el tono, la octava, la quinta y la cuarta. Nicómaco de Gerasa, Gaudencio
y Boecio hablan de la observación de Pitágoras de los diferentes sonidos
producidos en el yunque del herrero por martillos de diferentes pesos. Un
martillo cuyo peso era como 6 producía el tono, otro con peso 12 producía la
octava, otro con peso 9 la quinta y otro de peso 8 la cuarta. Pitágoras volvió
a casa, colgó tales pesos de cuatro cuerdas iguales y observó que se producían
los sonidos consonantes correspondientes. Este es el ejemplo típico de una de
esas historias cuya falsedad podría haber comprobado un historiador con sentido
crítico sin más que tratar de repetir la experiencia. La frecuencia del sonido
producido por una cuerda vibrante no está en proporción con la tensión, sino
con la raíz cuadrada de la tensión.
Diógenes Laercio propone a Pitágoras mismo como inventor del monocorde, no un
instrumento musical, sino más bien un aparato científico para verificar la
teoría musical utilizado por los pitagóricos. Gaudencio explica
pormenorizadamente el experimento más verosímil con el que Pitágoras comprobó y
cuantificó su intuición genial de la conexión de la armonía musical con los
números. Pitágoras tensó una cuerda musical que producía un sonido que tomó
como fundamental, el tono. Hizo señales en la cuerda, que la dividían en doce
partes iguales. Pisó la cuerda en el 6 y entonces
observó que se producía la
octava. Pisó luego en el 9 y resultaba la cuarta. Al pisar el 8 se obtenía la
quinta. ¡Las fracciones 1/2, 3/4, 2/3 correspondían a la octava, la cuarta y la
quinta!. Los sonidos producidos al pisar en otros puntos resultaban discordes o
al menos no tan acordes como los anteriores. ¡Los números 1,2,3,4, la
Tetraktys, determinaban con sus proporciones relativas los sonidos más
consonantes!.
Los
números 12,9,8,6 constituyeron así mismo en el pitagorismo posterior otra
cuaterna muy interesante por sus propiedades aritméticas. Se verifica:
, 
, 
Así 9 es media aritmética entre 12 y 6, 8 es media armónica entre 12 y 6. Se verifica 12.6=9.8 y esto es una propiedad general de la media aritmética y armónica
, 
, luego ab = mh
Iámblico afirma que la teoría de la media aritmética y la media armónica
procede de los babilonios y fue importada por Pitágoras. No hay pruebas
concluyentes de tal afirmación, pero sí se puede asegurar que esta teoría
pertenece al pitagorismo primitivo.
La armonía fue una ocupación constante de la escuela pitagórica en todas las etapas de su evolución. Platón había manifestado su descontento con el carácter empírico tanto de la armonía como de la astronomía de los pitagóricos. Tal vez por su influjo se produjo una curiosa fundamentación: axiomática de la armonía pitagórica, relatada por el astrónomo Tolomeo (ca. 130 d.de C.) en su obra sobre armonía Los axiomas pueden expresarse así:
1.- A los sonidos musicales corresponden números. A los del mismo tono el mismo número, a los de distinto tono números distintos.
2.- Los números correspondientes a sonidos consonantes se comportan entre sí como el numerador y el denominador de las fracciones más perfectas a/b, que son aquéllas en que el numerador es múltiplo del denominador, a = nb, o bien aquéllas en que a sobrepasa a b en una parte de b, es decir a=b+b/n, y esta relación es tanto más perfecta cuanto más simple, es decir cuanto más pequeño sea n.
3.- A la octava, como más perfecta, debe corresponder la relación 2/1.
La armonía fue una ocupación constante de la escuela pitagórica en todas las etapas de su evolución. Platón había manifestado su descontento con el carácter empírico tanto de la armonía como de la astronomía de los pitagóricos. Tal vez por su influjo se produjo una curiosa fundamentación: axiomática de la armonía pitagórica, relatada por el astrónomo Tolomeo (ca. 130 d.de C.) en su obra sobre armonía Los axiomas pueden expresarse así:
1.- A los sonidos musicales corresponden números. A los del mismo tono el mismo número, a los de distinto tono números distintos.
2.- Los números correspondientes a sonidos consonantes se comportan entre sí como el numerador y el denominador de las fracciones más perfectas a/b, que son aquéllas en que el numerador es múltiplo del denominador, a = nb, o bien aquéllas en que a sobrepasa a b en una parte de b, es decir a=b+b/n, y esta relación es tanto más perfecta cuanto más simple, es decir cuanto más pequeño sea n.
3.- A la octava, como más perfecta, debe corresponder la relación 2/1.
De esta
forma resulta por pura deducción lógica que a la quinta le debe corresponder
3/2 y a la cuarta 4/3.
De
entre los desarrollos ulteriores de la armonía científica de los pitagóricos se
puede destacar la explicación, asombrosamente acertada, de la naturaleza del
sonido como una sucesión de percusiones en el aire, haciendo depender el tono
del número de percusiones que se producen por unidad de tiempo, es decir, de la
frecuencia. Con ello se explica de modo natural y exacto la producción de
sonidos fisiológica y psicológicamente agradables, consonantes, en la cuerdas
cuyas longitudes se comportan como los números más sencillos. Las percusiones
del aire producidas simultáneamente por una cuerda y la cuerda con la misma
tensión, de longitud mitad, tono y octava, llegan al tímpano de una forma
representable en el eje del tiempo de la manera siguiente:
Su
composición da lugar a una estructura de percusiones como la que sigue:
que es sencilla y
previsible, armoniosa, para nuestro oído.
En cambio la producción de dos sonidos de frecuencias de percusión arbitrarias dará lugar a una estructura un tanto caótica que para nuestro oído resulta opaca, no previsible, en una palabra, disonante. Para mayor información sobre estos problemas profundamente interesantes puede consultarse el artículo de B.L. van de Waerden, Die Harmonielehre der Pythagoreer, Hermes 78 (1943) 163.
En cambio la producción de dos sonidos de frecuencias de percusión arbitrarias dará lugar a una estructura un tanto caótica que para nuestro oído resulta opaca, no previsible, en una palabra, disonante. Para mayor información sobre estos problemas profundamente interesantes puede consultarse el artículo de B.L. van de Waerden, Die Harmonielehre der Pythagoreer, Hermes 78 (1943) 163.
La curación pitagórica
La sabiduría musical de
Pitágoras, desarrollada a partir de las vibraciones del cosmos, la Música de
las Esferas, el poder catártico, iluminador y curador de los
Tonos Musicales se consagra y eleva. Esta sabiduría ha sido difundida en todo
el mundo occidental como Ciencia-Arte por más de 2500 años.
Para Pitágoras, la salud era la armonía y el equilibrio de los opuestos, y la enfermedad era desarmonía y desequilibrio de los elementos, características y emociones. El equilibrio es esencial para una perfecta salud psicofísica y la turbación de este equilibrio resulta en enfermedad. Para la recuperación, debe haber una reconciliación de todos estos elementos y esta puede lograrse con sintonía.
En las enseñazas de Pitágoras, la medicina era la ciencia de remover y agregar, o como Platón solía decir, de vaciar y llenar, removiendo así el exceso o la falta.
Jámblico en “La Vida Pitagórica” dice: “Creyendo que la primera curación de los hombres debía comenzar con la percepción sensible, a partir de la Escucha - percepción de bellas formas y figuras, de bellos ritmos y melodías – colocaba en primer lugar la educación musical mediante determinados ritmos y melodía que curan la índole y los afectos humanos, llevando nuevamente las facultades del alma al equilibrio original. Además concibió medios para prevenir y curar enfermedades físicas y psíquicas.
Pero por encima de todo esto – prosigue Jámblico – son dignos de consideración los denominados tratamientos y adaptaciones musicales que elaboró y organizó para sus discípulos, inventando con extraordinaria habilidad arreglos musicales de genero diatónico, cromático y enarmónico con los que habitualmente cambiaba para bien y revertía los sentimientos del alma que hubieran surgido y crecido de modo irracional: dolor, ira, celos y miedos absurdos, ansias de todo tipo, excitación y depresión, laxitud y violencia. Cada uno de estos sentimientos los rectificaba por medio de apropiadas armonías musicales.
Para Pitágoras, la salud era la armonía y el equilibrio de los opuestos, y la enfermedad era desarmonía y desequilibrio de los elementos, características y emociones. El equilibrio es esencial para una perfecta salud psicofísica y la turbación de este equilibrio resulta en enfermedad. Para la recuperación, debe haber una reconciliación de todos estos elementos y esta puede lograrse con sintonía.
En las enseñazas de Pitágoras, la medicina era la ciencia de remover y agregar, o como Platón solía decir, de vaciar y llenar, removiendo así el exceso o la falta.
Jámblico en “La Vida Pitagórica” dice: “Creyendo que la primera curación de los hombres debía comenzar con la percepción sensible, a partir de la Escucha - percepción de bellas formas y figuras, de bellos ritmos y melodías – colocaba en primer lugar la educación musical mediante determinados ritmos y melodía que curan la índole y los afectos humanos, llevando nuevamente las facultades del alma al equilibrio original. Además concibió medios para prevenir y curar enfermedades físicas y psíquicas.
Pero por encima de todo esto – prosigue Jámblico – son dignos de consideración los denominados tratamientos y adaptaciones musicales que elaboró y organizó para sus discípulos, inventando con extraordinaria habilidad arreglos musicales de genero diatónico, cromático y enarmónico con los que habitualmente cambiaba para bien y revertía los sentimientos del alma que hubieran surgido y crecido de modo irracional: dolor, ira, celos y miedos absurdos, ansias de todo tipo, excitación y depresión, laxitud y violencia. Cada uno de estos sentimientos los rectificaba por medio de apropiadas armonías musicales.
Muy poco sabemos con
certidumbre acerca de la vida y la doctrina de este hombre (Pitagoras). Pero un
examen reflexivo de la frondosa «leyenda pitagórica» ha permitido descubrir, o
al menos conjeturar muy fundadamente, la pertenencia del sabio de Samos al área
del chamanismo. Varios motivos de esta leyenda —encarnaciones previas del alma
de Pitágoras descenso a los Infiernos, ascensión a una nube, relaciones con
Zamolxis, dominio sobre daimones — dan considerable verosimilitud a la tesis de
una iniciación chamanística del «filósofo» de Samos. En ella tendría una de sus
principales raíces la medicina pitagórica. Cualquiera que fuese la relación del
pitagorísmo con el movimiento órfíco, es indudable la semejanza entre la
medicina mágica de los pitagóricos y las «curaciones» realizadas por los
seguidores de Orfeo. Tres notas, en efecto, parecen caracterizar el proceder
terapéutico de Pitágoras y sus discípulos: el propósito de expulsar daímones
del cuerpo y el alma del enfermo, el empleo de la música y la concepción
catártica de la dieta.
Pongamos ahora nuestra
atención en las dos primeras. Las más antiguas concepciones pitagóricas acerca
de la enfermedad fueron crasamente «primitivas»: dentro de ellas, un enfermo
sería un hombre poseído e impurificado por algún daimon maligno. En
consecuencia, la intención del tratamiento médico había de ser ante todo
apotropaica (expulsión del daimon perturbador) y catártica (restitución de la
naturaleza del enfermo a su «pureza» inicial). A. Delatte ha puesto en
evidencia el gran parecido entre la terapéutica supersticiosa de los
charlatanes y curanderos combatidos en el escrito de morbo sacro y las
prácticas medicinales y rituales de los pitagóricos. «Los remedios de esos
charlatanes —comenta Boyancé— van dirigidos contra un mal determinado, pero en
sí mismos son prácticas de alcance muy general; todo pasa casi como si la vida
pitagórica fuese presentada por aquéllos como necesaria para evitar la
epilepsia.» Una doble conjetura surge, bajo forma de dilema, en el ánimo del
historiador: o bien los catarías mencionados en el escrito hipocrático son
indignos herederos de Pitágoras, o bien los pitagóricos habrían acogido en su
regla de vida las creencias y los ritos que menciona Hipócrates. El saber
actual no nos permite optar con seguridad entre una y otra conjetura.
En cualquier caso, no sólo la epilepsia y la locura fueron enfermedades atribuidas a la irrupción de un daimon innominado o dotado de nombre en el cuerpo del enfermo; también lo fueron otras muchas afecciones morbosas, especialmente las súbitas y febriles, e incluso afecciones psíquicas de condición no morbosa, como los sueños y las pasiones. Para la mente primitiva, todo lo que «sobreviene» en la vida del hombre de un modo inopinado e incomprensible tiene como causa oculta la penetración de un daímon perturbador e invisible en la realidad de aquél. Arístides Quintiliano dirá que ciertos «varones sabios» —es más que probable la alusión a los pitagóricos— llaman a las pasiones “pequeñas epilepsias»; expresión que manifiesta muy claramente la interpretación de los estados afectivos intensos como «pequeñas posesiones» y la transición continua que para el griego hubo siempre entre el páthos como «pasión» y el páthos como «enfermedad». No será inoportuno anotar que esa transición poseía a la vez carácter cuantitativo, porque una pasión muy intensa es ya afección morbosa, y carácter genético, porque las enfermedades stricto sensu producen pasiones, y las pasiones pueden producir enfermedades o expresarse con los mismos signos que ellas.
Así concebidas la enfermedad y las pasiones, ¿ cuál podía ser su tratamiento ? Los primitivos pitagóricos, como tantos otros «primitivos», apelaron a la presunta eficacia mágica del ensalmo y la música; más precisamente, al ensalmo cantado. Decía Aristoxeno de Tarento que los pitagóricos purificaban el cuerpo con la medicina y el alma con la música. Pero es seguro que esta precisa dicotomía catártica y terapéutica procede de la ordenadora mentalidad de Aristoxeno, porque tanto Jámblico como Porfirio nos dicen muy claramente que también las enfermedades del cuerpo fueron tratadas por los pitagóricos mediante la música. La música de la lira —Pitágoras, como luego Platón, repudiaba la flauta: el soplo de ésta «impurificaría» el oído de quienes la escuchan— fué el principal recurso de la medicina mágica de Pitágoras y sus secuaces. Había en el círculo pitagórico hasta una suerte de farmacopea musical, un arte de mezclar sonidos, enteramente equiparable al de mezclar medicamentos simples y enderezado, como éste, al logro de acciones terapéuticas especiales. Es notable la analogía entre dicha práctica y la que Hofman ha podido observar entre los chamanes de los indios Ojibua: «En el curso de la instrucción preparatoria que constituye el primer estadio de la iniciación, el maestro enseña al alumno cantos particularmente eficaces, pero éste aprende también a «preparar cantos» para las necesidades de la práctica, exactamente como un alumno de farmacia aprendería a componer medicamentos».
En cualquier caso, no sólo la epilepsia y la locura fueron enfermedades atribuidas a la irrupción de un daimon innominado o dotado de nombre en el cuerpo del enfermo; también lo fueron otras muchas afecciones morbosas, especialmente las súbitas y febriles, e incluso afecciones psíquicas de condición no morbosa, como los sueños y las pasiones. Para la mente primitiva, todo lo que «sobreviene» en la vida del hombre de un modo inopinado e incomprensible tiene como causa oculta la penetración de un daímon perturbador e invisible en la realidad de aquél. Arístides Quintiliano dirá que ciertos «varones sabios» —es más que probable la alusión a los pitagóricos— llaman a las pasiones “pequeñas epilepsias»; expresión que manifiesta muy claramente la interpretación de los estados afectivos intensos como «pequeñas posesiones» y la transición continua que para el griego hubo siempre entre el páthos como «pasión» y el páthos como «enfermedad». No será inoportuno anotar que esa transición poseía a la vez carácter cuantitativo, porque una pasión muy intensa es ya afección morbosa, y carácter genético, porque las enfermedades stricto sensu producen pasiones, y las pasiones pueden producir enfermedades o expresarse con los mismos signos que ellas.
Así concebidas la enfermedad y las pasiones, ¿ cuál podía ser su tratamiento ? Los primitivos pitagóricos, como tantos otros «primitivos», apelaron a la presunta eficacia mágica del ensalmo y la música; más precisamente, al ensalmo cantado. Decía Aristoxeno de Tarento que los pitagóricos purificaban el cuerpo con la medicina y el alma con la música. Pero es seguro que esta precisa dicotomía catártica y terapéutica procede de la ordenadora mentalidad de Aristoxeno, porque tanto Jámblico como Porfirio nos dicen muy claramente que también las enfermedades del cuerpo fueron tratadas por los pitagóricos mediante la música. La música de la lira —Pitágoras, como luego Platón, repudiaba la flauta: el soplo de ésta «impurificaría» el oído de quienes la escuchan— fué el principal recurso de la medicina mágica de Pitágoras y sus secuaces. Había en el círculo pitagórico hasta una suerte de farmacopea musical, un arte de mezclar sonidos, enteramente equiparable al de mezclar medicamentos simples y enderezado, como éste, al logro de acciones terapéuticas especiales. Es notable la analogía entre dicha práctica y la que Hofman ha podido observar entre los chamanes de los indios Ojibua: «En el curso de la instrucción preparatoria que constituye el primer estadio de la iniciación, el maestro enseña al alumno cantos particularmente eficaces, pero éste aprende también a «preparar cantos» para las necesidades de la práctica, exactamente como un alumno de farmacia aprendería a componer medicamentos».
¿Quiere esto decir que la palabra humana no tuvo papel alguno en los encantamientos musicales de los pitagóricos ? La verdad es que tales encantamientos, como los órficos, fueron casi siempre canciones, y que en ellas la letra no tuvo menor importancia que la música. Jámblico y Porfirio hablan textualmente de epódaí cuando exponen las actividades terapéuticas de Pitágoras. Acompañándose con la lira, el mago pitagórico intentaba la expulsión del daímon y la curación «purificadera» del enfermo cantando péanes de Thaletas y fragmentos de Homero y Hesiodo, más o menos próximos por su contenido a la naturaleza del caso tratado. Cuenta Jámblico, por ejemplo, que un joven ebrio y violentamente enamorado llegó hasta el paroxismo de su doble pasión por obra de un tañedor de flauta que hacía sonar su instrumento al modo frigio. Llamado Pitágoras en ayuda del mozo, le sanó sustituyendo el sonido de la flauta por el grave canto de un espondeo. El carácter sacral y teológico que la poesía de Homero y Hesiodo tuvo para los hombres de Grecia —«la Biblia de los griegos», ha llamado Wilaimowitz a esa poesía— explica bien la preferencia de los que buscaban en ella el texto de sus ensalmos. Siglos más tarde, Proclo heredará esa vieja práctica pitagórica, y hasta la utilizará in propria persona. Un día en que le atormentaba un dolor violento se hizo cantar ciertos himnos, y sus dolores se mitigaron. La misma intención antidemónica tenían, según todas las apariencias, las purificaciones matinales y vesperales de los pitagóricos. Por la mañana, esas purificaciones eliminaban del alma la confusión creada en ella por los daímones nocturnos y los malos ensueños que éstos hubiesen podido causar; por la tarde preparaban la vía a los buenos daímones —es decir, a los buenos ensueños— y cerraban el paso a los malos.
Parece razonable, según
esto, atribuir a Pitágoras algunos rasgos chamanísticos. En cierta medida, el
fundador del pitagoreísmo fué un hombre de la estirpe de Abaris, Aristeas y
Hermótimo de Clazómene. Pero la figura de Pitágoras quedaría lamentablemente
desconocida y degradada olvidando que si él fué de algún modo un chamán, lo
fué, en definitiva, sin perder su condición de hombre griego. Utilizó
mágicamente la música, pero lo hizo —a tanto no había llegado hombre alguno
anterior a él— orientando su mente hacia lo que la música «es» ; y si concibió
de manera primitiva y demónica las pasiones del alma y el hecho de la
enfermedad, su inteligencia, genialmente atenta a una intelección rigurosa de
lo que las cosas «son», llegó por primera vez a formular —o cuando menos a preparar—
una doctrina verdaderamente «científica» acerca de la enfermedad y las
pasiones. Sin haber dejado de ser «mago» y «hechicero», en el más amplio
sentido de estas palabras, Pitágoras constituye un hito histórico decisivo en
el proceso que conduce desde la medicina “mágica» a la medicina «científica».
¿ Qué es la ¡música ? En
su realidad propia, e independientemente de los efectos que su audición
produzca en nosotros, la música es a la vez sonido y número, porque la altura
del sonido de una cuerda se halla en estricta relación numérica con la longitud
de ésta. Hazaña genial de Pitágoras : con ese descubrimiento suyo, la acción
mágica de la música queda en inmediata relación con la acción mágica del
número. Pero hay más. La música es armoniosa cuando imita la armonía del
movimiento de los astros ; y puesto que los astros son lo más divino en la
divina naturaleza, siguése de ahí que el número ha de poseer una significación
y un valor a la vez religiosos y cósmicos. Para los pitagóricos —dirá luego
Aristóteles— «los números son la esencia de todas las cosas, y los cielos,
armonía y número». El número sería el principio y el fundamento del cosmos. Con
ello, la buena salud del hombre, en su doble aspecto psíquico y somático, es
pureza divina y armonía. «Para que su ánimo se hallase siempre imbuido de
divinidad, Pitágoras... acostumbraba a cantar con la cítara».
Esta sentencia de Censorino expresa bien el verdadero sentido de las canciones pitagóricas —simultáneamente mágicas, morales, -metafísicas y religiosas— y nos permite entender con suficiente hondura las ideas que acerca de las pasiones y la enfermedad germinaban en la Magna Grecia a fines del siglo v. La enfermedad, los estados afectivos violentos y los sueños son «pasiones» (páthé) del hombre producidas por la interrupción de daímones en la individual realidad de quien las padece. Tal parece ser la causa de dichas alteraciones. Pero, ¿ cuál será su real consistencia ? ¿ En qué consisten las alteraciones de la vida humana que llamamos «pasión» y «enfermedad» ? Es previsible la respuesta de los pitagóricos. Las pasiones violentas y las enfermedades —nos dirán— son «faltas de armonía», desórdenes del número a que en último término pueden y deben ser reducidas la pureza divina del hombre, la concordancia de su vida con el orden universal de la naturaleza y la buena salud. La vita pythagorica —dieta alimenticia, canciones, ciencia del número, preceptos diversos— sería el método para conservar la divina armonía de la salud o para conquistarla de nuevo si por azar un páthos violento nos la ha hecho perder. Siéntese ya la inminencia de la «patología fisiológica» de Alcmeón de Crotona, con su fecunda idea de la isonomía.
Esta sentencia de Censorino expresa bien el verdadero sentido de las canciones pitagóricas —simultáneamente mágicas, morales, -metafísicas y religiosas— y nos permite entender con suficiente hondura las ideas que acerca de las pasiones y la enfermedad germinaban en la Magna Grecia a fines del siglo v. La enfermedad, los estados afectivos violentos y los sueños son «pasiones» (páthé) del hombre producidas por la interrupción de daímones en la individual realidad de quien las padece. Tal parece ser la causa de dichas alteraciones. Pero, ¿ cuál será su real consistencia ? ¿ En qué consisten las alteraciones de la vida humana que llamamos «pasión» y «enfermedad» ? Es previsible la respuesta de los pitagóricos. Las pasiones violentas y las enfermedades —nos dirán— son «faltas de armonía», desórdenes del número a que en último término pueden y deben ser reducidas la pureza divina del hombre, la concordancia de su vida con el orden universal de la naturaleza y la buena salud. La vita pythagorica —dieta alimenticia, canciones, ciencia del número, preceptos diversos— sería el método para conservar la divina armonía de la salud o para conquistarla de nuevo si por azar un páthos violento nos la ha hecho perder. Siéntese ya la inminencia de la «patología fisiológica» de Alcmeón de Crotona, con su fecunda idea de la isonomía.
Volvamos ahora al texto de
Jámblico : «Los pitagóricos usaron más pomadas y cataplasmas que sus
predecesores ; el tratamiento con fármacos no lo estimaban mucho; usábanlo casi
siempre sólo en las úlceras ; menos aún recurrían a las incisiones y al
cauterio; en algunas enfermedades empleaban también canciones mágicas (ensalmos
cantados, epódaí)». En esas canciones, ¿qué papel tenían, junto a la música,
las palabras del cantor ? ¿ Cómo interpretó Pitágoras la operación mágica de la
palabra cantada ? ¿ Cómo lo que en la canción se dijera podía contribuir al
restablecimiento de la armonía perdida ? La verdad es que la mente de
Pitágoras, demasiado arcaica todavía, ni pudo llegar a proponerse estas
interrogaciones, ni era capaz de darles respuesta adecuada. Para obtenerla será
preciso esperar hasta Platón.
El final del Instituto pitagórico
“En cuanto al origen del Instituto (Pitagórico), la tradición nos dice únicamente que hasta la LXII Olimpiada (530 A.C.), o un poco después, Pitágoras fue a Crotona con numerosos discípulos que lo acompañaron desde Samos, y comenzó a hablar en público de tal manera que pronto se granjeó la simpatía de los oyentes, que venían en gran número a escuchar sus inspiradas palabras; les enseñó verdades que nunca habían sido escuchadas en aquellas regiones y de boca de un hombre como él. Fue recibido con gran deferencia tanto por el pueblo como por el partido aristocrático que entonces detentaba las riendas del gobierno, y tal fue el entusiasmo despertado por sus enseñanzas que sus admiradores erigieron un magnífico edificio en mármol blanco – denominado homakoeion, o auditorio público -, en el cual podría proclamar convenientemente sus doctrinas y les permitía vivir bajo su guía... Su autoridad creció de tal manera que pronto ostentó una verdadera influencia moral en la ciudad, que rápidamente se propagó hacia el exterior, hasta los vecinos distritos de la Magna Grecia, Sicilia, Sybaris, Tarento, Rhegio, Catania, Himera y Agrigento.
Desde las colonias griegas y desde
las tribus italianas de Lucani, Peucetil, Mesapii e incluso de las aldeas
romanas, acudían a él discípulos de ambos sexos, y lo tomaban como maestro los
legisladores más célebres de esos lugares, Zauleco, Carondas, Numa, y otros.
Con su intermediación se pudo restaurar el orden, la libertad, las costumbres y
las leyes (The Pythagorean Sodality of Crotona, por Alberto Granola,
Spirit of the Sun Publications, Santa Fe, New Mexico, 1997, páginas 4-5,
extractos).
“Porfirio relata que más de dos mil
ciudadanos con sus esposas y familias se reunían en el Homakoeion, vivían en
comunidad de bienes y regulaban sus vidas por las leyes que les dio el
filósofo, a quien veneraban como a un Dios.
Fue así como se formó la Fraternidad, a la que tenía acceso todo hombre o mujer de bien; y a esta familia filosófica del Maestro le fueron dadas las mismas reglas que él había visto en las escuelas de Oriente y de Egipto, en las cuales, como ya se ha referido, él adquirió el conocimiento de los Misterios.
El instituto llegó a ser al mismo
tiempo un colegio de educación, una academia científica y una pequeña ciudad
modelo, bajo la dirección de un gran iniciado. Y fue por medio de la teoría
acompañada de la práctica, y por la unión de la ciencia y el arte, que
gradualmente se alcanzó esa ciencia de las ciencias y esa armonía del alma y
del intelecto con el universo, las cuales los Pitagóricos consideraban que eran
los arcanos de la filosofía y de la religión. (Ibid. p. 8)
“En realidad, su meta era la
elevación de sus discípulos en espíritu y acción, ya sea inspirándoles cultura
general y conocimiento, ya sea haciéndoles practicar la disciplina más rigurosa
de la mente y de las pasiones...” (Ibid. p. 12)
En 513 a.C., Pitágoras viaja a Delos para cuidar de
Ferécides, su antiguo maestro, que se encontraba moribundo. Permaneció allí por
unos meses, hasta la muerte de su amigo y maestro.
En 510 a.C., Crotona fue atacada y ocupada por la localidad vecina de Síbari; ciertos indicios señalan que Pitágoras se vio de algún modo involucrado en la disputa.
Pitagoras se sentiría responsable por las muertes sucedidas a lo largo de éstos conflictos –unos 300 discípulos morirían en éstos incidentes, a los que se debería añadir todos los soldados de las diferentes ciudades que se enfrentaron-. La intervención en la política de las ciudades de la Magna Grecia, a pesar de las buenísimas intenciones del Maestro, tuvieron unas consecuencias que le entristecerían, causándole un gran dolor, llevándole a dejarse morir de sed y hambre en el templo de las Musas de Metaponto.
En 510 a.C., Crotona fue atacada y ocupada por la localidad vecina de Síbari; ciertos indicios señalan que Pitágoras se vio de algún modo involucrado en la disputa.
Pitagoras se sentiría responsable por las muertes sucedidas a lo largo de éstos conflictos –unos 300 discípulos morirían en éstos incidentes, a los que se debería añadir todos los soldados de las diferentes ciudades que se enfrentaron-. La intervención en la política de las ciudades de la Magna Grecia, a pesar de las buenísimas intenciones del Maestro, tuvieron unas consecuencias que le entristecerían, causándole un gran dolor, llevándole a dejarse morir de sed y hambre en el templo de las Musas de Metaponto.
La evidencia sobre el lugar y el año de la muerte de
Pitágoras es incierta. Ciertamente la Sociedad Pitagórica prosperó por muchos
años después de este acontecimiento y se esparció hacia otras ciudades
italianas.
Esto refuerza la idea de que Pitágoras de hecho volvió
a Crotona y cita como evidencia la edad de Pitágoras al morir -alrededor de 100
años-, un dato ampliamente aceptado, así como el hecho de que varias fuentes
aseguran que enseñó a Empédocles, por lo que tuvo que haber vivido hasta
después de 480 a.C.
Su tumba fue exhibida en Metaponto en tiempos de
Cicerón.
Conclusión
Los pitagóricos contribuyeron en alto grado a articular el mensaje de la civilización griega basada en la leyenda y en la sabiduría. Así ofrecería Grecia su inestimable dádiva al presente y al futuro de la humanidad. Las juventudes educadas en el instituto de Pitágoras representaban la levadura humana capaz de hacer fermentar la masa, capacitarla al máximo, y elevarla a la mayor posibilidad de su destino histórico.
Trasplantado este núcleo de selección al área social de
la Grecia antigua, se le brindó los mejores legisladores, los más sabios
juristas, los más capacitados pedagogos, los más grandes filósofos, artistas y
patriarcas dotados de todas las virtudes cívicas, noble dechado de una
civilización que fue, y sigue siendo, la sabia mentora del mundo occidental.
A pesar de los siglos transcurridos, la obra que llevó
a cabo el filósofo de Samos a través de su famoso instituto, no sólo no ha sido
superada, sino tan siquiera igualada. Ya que la educación que en ella se
obtenía no era sólo mental y física, no era sólo de ejemplaridad externa y de
instrucción, sino que allí desenvolvía el alumno otras capacidades de índole
superior, siguiendo las enseñanzas directas del maestro.
En el instituto pitagórico se desenvolvía como un todo
armónico, el elemento subconsciente y el superconsciente, la contraparte humana,
cósmica o divina de nuestra maravillosa naturaleza.
Los resortes pedagógicos, las claves dialécticas que
poseía Pitágoras, no se hallaban al alcance de los no iniciados. Era aquí la
base permanente, insobornable, de su herencia a la humanidad de todos los
tiempos.
Por eso dijo de él la maestra H. P. Blavatsky: "Si
la metempsícosis de Pitágoras pudiese ser completamente explicada y comparada
con la teoría moderna de la evolución, se vería que proporciona todos los
eslabones que faltan en la cadena de ésta. Pitágoras, el filósofo puro,
profundamente versado en los más ocultos fenómenos de la naturaleza, el noble
heredero de la antigua ciencia cuyo gran designio era librar al alma de la
ignorancia de las cadenas de los sentidos y obligarla a manifestar sus poderes,
debe vivir eternamente en la memoria de los hombres."
En el doble sentido de su persona y de su obra, fue
Pitágoras la luz precursora que señaló el camino a todo el Occidente. Luz
alzada sobre el futuro desde los orígenes articulados de nuestra civilización y
que proyecta sus potentes rayos con la claridad del primer día; y que ofrece
posibilidades de renovación inéditas porque la orientación de su obra está por
encima del tiempo, del lugar y de la anécdota.
Con su sonrisa paternal y su expresión serena, todavía
Pitágoras nos muestra el camino —camino sin tiempo ni distancias—, que puede
conducirnos a la superación del caos y la desarmonía presentes, sirviendo al
establecimiento de la nueva era que comienza.
“...el sabio de Samos se propuso reformar a
los hombres desde el interior, y con ello necesariamente
modificar las condiciones exteriores de la vida individual y social. Una vez
que deseó construir una religión fundada en un sentimiento interior y no en
prácticas externas de adoración, las cuales, no habiendo una consciencia con la
que se correspondiesen, se convertían en meras supersticiones y vacíos
formalismos dogmáticos, fue completamente natural que la nueva intuición
despertase en medio de los elementos reaccionarios y conservadores de la
sociedad de Crotona y la Italiana y, sobre todo, la cólera de la
ignorante aristocracia, que estaba excluida por su deficiencia intelectual y
moral, del mismo modo que los sacerdotes, que se vieron privados de influencia
sobre la mayor parte – y la mejor – de la juventud. Las calumnias que ellos
supieron difundir con el arte que parece ser su privilegio, encontraron
crédito, como siempre, en el vulgo, y pronto fueron animados por
otros que vieron igualmente amenazados sus intereses particulares” (Ibid.
13-14).
Este, después de haber obtenido
asilo en Caulonia y Locris, fue recibido finalmente en Metaponto, donde murió
poco después. Se estableció entonces una feroz persecución contra los
Pitagóricos: unos fueron asesinados y otros desterrados, convirtiéndose en
fugitivos en las comarcas vecinas.
En estas condiciones, la vida
en la Fraternidad fue extremadamente corta, no habiendo durado más de
cuarenta años; con todo, la eficacia de las enseñanzas Pitagóricas duró muchos
siglos. Su llama nunca se extinguió y, por si acaso, fue rigurosamente
preservada y transmitida de generación en generación por los elegidos, a los
cuales fue confiada, por grados, el contenido sagrado; de tal forma que los
cimientos de la doctrina esotérica se mantuvieran, y en todas las sucesivas
épocas fue conocida en mayor o menor grado.” (Ibid. pp. 14-15)
Los Versos Áureos
Honra ante todo a los dioses inmortales
según establece la ley. Respeta la palabra dada.
Honra luego a los héroes glorificados, y consagra por
fin
a los genios terrestres, rindiéndoles también debido
culto.
Honra a tu padre, a tu madre y a tus próximos
parientes.
Escoge por amigo al más destacado en virtud,
atiende sus dulces advertencias, y aprende de sus
ejemplos.
Discúlpale sus faltas mientras puedas,
evitando todo juicio severo; ya que lo posible
se halla cerca de lo necesario. Sé razonable.
Acepta las cosas como son. Acostúmbrate a vencerte.
Sé sobrio en el comer, activo y casto.
Nunca cometas actos deshonestos de los que puedas luego
avergonzarte, ni en privado ni en público. Ante todo, respétate a ti
mismo.
Observa la justicia en acciones y palabras.
Nunca te comportes si-n regla ni razón.
Piensa que el Hado ordena a todo morir,
y que los fáciles honores y bienes de fortuna son
inciertos;
que las pruebas de la vida vienen por voluntad divina.
Sea adversa o favorable, alégrate siempre de tu suerte,
mas trata con noble tesón de mejorarla.
Piensa que el destino es más benévolo para los buenos
que comprenden y a sus designios se ajustan.
Mucho se habla y mucho se enjuicia sobre diversos
temas.
No los acojas con admiración ni tampoco los rechaces.
Más si advirtieres que el error triunfa,
ármate de paciencia y de dulzura.
Observa estas razones en toda circunstancia:
Que nadie te induzca con palabras o actos
a decir o a hacer lo que no te corresponda.
De insensatos es hablar y obrar sin premeditación.
Consulta, delibera, y elige la más noble conducta.
Trata de edificar sobre el presente
lo que ha de ser realidad futura.
No alardees de lo que no entiendas,
pero aprende siempre y en toda circunstancia,
y la satisfacción será su resultado.
Jamás descuides la salud del cuerpo.
Dale con mesura comida, bebida, ejercicio y descanso,
ya que armonía es todo aquello que no perjudica.
Habitúate a vivir sencilla y pulcramente.
Evita siempre provocar la envidia.
No realices dispendios excesivos
como aquellos que ignoran la medida de lo bello.
No seas avaro ni mezquino, y elige en todo
un justo medio razonable.
No te empeñes en hacer lo que pueda perjudicarte.
Reflexiona bien antes de obrar.
No permitas que cierre el dulce sueño tus párpados
sin analizar las acciones del día.
¿Qué hice? ¿En qué falté? ¿Qué dejé de hacer que de-
[biera haber hecho?
Y si en el examen hallas falta, trata de enmendarte;
mas si has obrado bien, regocíjate de ello.
Trata de practicar estos preceptos. Medítalos y ámalos,
que ellos te conducirán por la senda de la virtud
divina.
Lo juro por Aquel que ha transmitido a nuestra alma
la Tetrada Sagrada, inmenso y puro símbolo,
fuente de la naturaleza, de curso eterno.
No inicies obra alguna sin antes rogar a los dioses
que en ella colaboren. Y cuando te hayas familiarizado
con estas costumbres, sondearás la esencia de hombres y
[dioses
y conocerás, de todo, el principio y el fin.
Sabrás también oportunamente
la unidad de la naturaleza en todas sus formas.
Nunca entonces esperarás lo inesperable,
y nada te será ocultado.
Sabrás también que los males que aquejan a los hombres
han sido por ellos mismos generados.
En su pequeñez, no saben ver ni entienden
que tienen muy cerca los mayores bienes. Pocos conocen
e1 secreto de la felicidad, y ruedan como objetos
de acá para allá, abrumados de múltiples pesares.
La aflictiva discordia innata en ellos limita su
existencia
sino vencerla, a menudo, cediendo. O Zeus inmenso,
padre de los hombres!
Tú puedes liberar a todos de los males que les agobian
si les muestras el genio que les sirve.
Mas ten valor, que la raza humana es divina.
La sagrada naturaleza te irá revelando a su hora,
sus más ocultos misterios. Si te hace partícipe de
ellos,
facilmente lograrás la perfección.
Y sanada tu alma, te verás libre de todos los males.
Ahora abstente de carnes, que hemos
prohibido en las purificaciones. Libera poco a poco tu
alma, discierne lo justo, y aprende
el significado de las cosas. Deja que te conduzca
siempre la inteligencia soberana, y
cuando emancipado de la materia seas recibido en el
[éter puro y libre,
venceras como un dios a la muerte con la inmortalidad.
Queda tanto por explicar... Sabía cuando comenzaba éstaentrada que no conseguiría dar a conocer todo aquello que quería... No obstante pienso que en el limitado espacio de unas entradas de blog, podéis haceros una idea de la grandeza de éste Maestro Eterno que fué Pitagoras de Samos, al que occidente debe tantas y tantas cosas.
Como siempre, espero que os haya sido útil e interesante.
Queda tanto por explicar... Sabía cuando comenzaba éstaentrada que no conseguiría dar a conocer todo aquello que quería... No obstante pienso que en el limitado espacio de unas entradas de blog, podéis haceros una idea de la grandeza de éste Maestro Eterno que fué Pitagoras de Samos, al que occidente debe tantas y tantas cosas.
Como siempre, espero que os haya sido útil e interesante.
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